极限题型一：求函数极限常见题型

2023-07-10 00:35| 来源: 网络整理| 查看: 265

出chatgpt独享账号！内含120美元！仅需38元/个！独享永久使用！点击购买！ 0/0型 ①洛必达 ②等价无穷小代换 ③泰勒公式

遇到两个根号相减→方法一：有理化方法二：拉格朗日中值定理(两个函数值的差)

遇到tanx-sinx→想到tanx=sinx/cosx，sinx=tanx•cosx 提取出公因子→tanx-sinx=tanx(1-cosx)

遇到1-cosx→等价代换 $\frac{1}{2}x^{2}$ 遇到x-ln(1+x)→等价代换 $\frac{1}{2}x^{2}$

遇到两个以e为底的指数函数相减→方法一：提取相同因子，变乘积，使得括号内 $e^{\left ( ax+b\right )}-1$ 等价代换ax+b(前提指数趋于0)。方法二：拉格朗日中值定理(看做两个函数值的差)

遇到在相减的式子中有单个的cosx→可以根据另外几个数的阶级，泰勒展开 $cosx=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}+o\left ( x^{4}\right )$ 【出现函数值的差值都可以试一下拉格朗日中值定理！】

遇到分子是arctanx-sinx→增减一项x：(arctanx-x)+(x-sinx)~ $-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{6}x^{3}$ 【加减关系中可以用等价无穷小代换的条件：减法中两减项不等价 $lim\frac{a_{1}}{b_{1}}\neq 1$ ，a-b～a1-b1；加法中两加项 $lim\frac{a_{1}}{b_{1}}\neq -1$ ，a+b～a1+b1】

遇到积分区间为0到x的定积分→不好积时可以等价代换化简，eg.0到x的定积分fln(1+t的平方)dt～ft的平方dt=1/3x的三次方 x+sinx→等价代换2x

遇到x趋于0，(1+x)^a→等价代换ax

【推广到a(x)趋于0，a(x)b(x)趋于0， $[1+a(x)]^{b(x)}$ →等价代换a(x)b(x)】多用于出现幂指函数时(底数包含x,指数也包含x)，把底数凑成1+a(x)的形式再用等价代换

【推广到x趋于0， $(1+x)^{x}$ →等价代换 $x^{2}$ 】

同时遇到cosx，e^x，ln(1+x)→泰勒展开式

遇到x趋于0时x+ln(1-x)→=ln(1-x)-(-x)~ $-\frac{1}{2}\left ( -x \right )^{2}$

∞/∞型 ①洛必达 ②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

【怎么找出最高阶的无穷大？】常用的一些无穷大趋向无穷的速度快慢比较：当x→+∞时，对数函数

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